1. 다음의 선형 연립방정식을 Gauss 소거법으로 손으로 풀어보자

Gauss 소거법의 손 연습 : 서울과학기술대학교 기계시스템디자인공학과 / 김성환교수

(1) 전진 소거 (Forward elimination)

수식으로 표기	Augmented matrix로 표기
[eqn: ````x _{1} +````x _{2} -3x _{3} =-9`````````````````(1)# 2x _{1} +4x _{2} -````x _{3} =-5`````````````````(2)# 4x _{1} +````x _{2} +2x _{3} =9```````````````````````(3)] ▪ (2)식 □ (2)식-(1)식×2 [[eqn: a _{21} /a _{11}]] ▪ (3)식 □ (3)식-(1)식×4 [[eqn: a _{31} /a _{11}]] [eqn: x _{1} +x _{2} -`3x _{3} =-9`````````````````````(1)# `````````````2x _{2} +`5x _{3} =13```````````````````````(2)# ````-3x _{2} +14x _{3} =45````````````````````(3)] ▪ (3)식 □ (3)식+(2)식×1.5 [[eqn: a _{32} /a _{22}]] [eqn: x _{1} +x _{2} -`3x _{3} =-9`````````````````````(1)# `````````````2x _{2} +`5x _{3} =13```````````````````````(2)# `````````````````````````21.5x _{3} =64.5````````````````(3)]	[eqn: {bmatrix{1``&1&``-3&``-9#2``&4&``-1&``-5#4``&1&``2&``9}}] ▪ (2)행 □ (2)행-(1)행×2 [[eqn: a _{21} /a _{11}]] ▪ (3)행 □ (3)행-(1)행×4 [[eqn: a _{31} /a _{11}]] [eqn: {bmatrix{1&``1&``-3&``-9#0&``2&``5&``13#0&``-3&``14&``45}}] ▪ (3)행 □ (3)행+(2)행×1.5 [[eqn: a _{32} /a _{22}]] [eqn: {bmatrix{1&``1&``-3&````-9#0&``2&``5&````13#0&``0&``21.5&````64.5}}]

(2) 후진 대입 (Back substitution)

[eqn: x _{3} =b _{3} /a _{33} =64.5/21.5=3]

[eqn: x _{2} =(b _{2} -(a _{23} *x _{3} ))/a _{22} =(13-(5*3))/2=-1]

[eqn: x _{1} =(b _{1} -(a _{13} *x _{3} +a _{12} *x _{2} ))/a _{11} =(-9-(-3*3+1*-1))/1=1]

2. 다음의 선형 연립방정식을 부분 피봇팅을 사용한 Gauss 소거법으로 풀자

(1) 전진 소거 (Forward elimination)

수식으로 표기	Augmented matrix로 표기
[eqn: `````````````````````2x _{2} +3x _{3} =8```````````````````````(1)# 4x _{1} +6x _{2} +7x _{3} =-3`````````````````(2)# 2x _{1} -3x _{2} +6x _{3} =5```````````````````````(3)] ▪ 피봇항이 [eqn: a _{11}]인데 [eqn: a _{21} /a _{11}]항이 계산 불가 ▪ 정지 !!	[eqn: {bmatrix{0``&2&``3&``8#4``&6&``7&``-3#2``&-3&``6&``5}}]

부분 피봇팅(partial pivoting) 사용

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[eqn: `````````````````````2x _{2} +3x _{3} =8```````````````````````(1)# 4x _{1} +6x _{2} +7x _{3} =-3`````````````````(2)# 2x _{1} -3x _{2} +6x _{3} =5```````````````````````(3)] ▪ 1열에서 최대값 4를 갖는 2식을 1식과 교환 [eqn: 4x _{1} +6x _{2} +7x _{3} =-3`````````````````(1)# `````````````````````2x _{2} +3x _{3} =8```````````````````````(2)# 2x _{1} -3x _{2} +6x _{3} =5```````````````````````(3)] ▪ (2)식 □ (2)식-(1)식×0 [[eqn: a _{21} /a _{11}]] ▪ (3)식 □ (3)식-(1)식×0.5 [[eqn: a _{31} /a _{11}]] [eqn: 4x _{1} +6x _{2} +``````7x _{3} =-3`````````````````(1)# `````````````````````2x _{2} +``````3x _{3} =8```````````````````````(2)# `````````````-6x _{2} +2.5x _{3} =6.5```````````````(3)] ▪ 남은 식에서 2열에서 최대값을 갖는 식을 선택 ▪ 3식의 –6이 선택. 2식과 3식 교환 [eqn: 4x _{1} +6x _{2} +``````7x _{3} =-3`````````````````(1)# `````````````-6x _{2} +2.5x _{3} =6.5```````````````(2)# ``````````````````````2x _{2} +``````3x _{3} =8```````````````````````(3)] ▪ (3)식 □ (3)식+(2)식×(1/3) [[eqn: a _{32} /a _{22}]] [eqn: 4x _{1} +6x _{2} +``````7x _{3} =-3`````````````````(1)# `````````````-6x _{2} +2.5x _{3} =6.5```````````````(2)# ````````````````````````````````````````` {23} over {6} x _{3} = {61} over {6} ``````````````(3)]	[eqn: {bmatrix{0``&2&``3&``8#4``&6&``7&``-3#2``&-3&``6&``5}}] ▪ 1열에서 최대값 4를 갖는 2행을 1행과 교환 [eqn: {bmatrix{4``&6&``7&``-3#0``&2&``3&``8#2``&-3&``6&``5}}] ▪ (2)행 □ (2)행-(1)행×0 [[eqn: a _{21} /a _{11}]] ▪ (3)행 □ (3)행-(1)행×0.5 [[eqn: a _{31} /a _{11}]] [eqn: {bmatrix{4``&6&``7&``-3#0``&2&``3&``8#0``&-6&``2.5&``6.5}}] ▪ 남은 행에서 2열에서 최대값을 갖는 행을 선택 ▪ 3행의 –6이 선택. 2행과 3행 교환 [eqn: {bmatrix{4``&6&``7&``-3#0``&-6&``2.5&``6.5#0``&2&``3&``8}}] ▪ (3)행 □ (3)행+(2)행×(1/3) [[eqn: a _{32} /a _{22}]] [eqn: {bmatrix{4``&6&``7&``-3#0``&-6&``2.5&``6.5#0``&0&`` {23} over {6}&`` {61} over {6}}}]

(2) 후진 대입 (Back substitution)

[eqn: x _{3} =b _{3} /a _{33} = {61} over {6} / {23} over {6} =2.6522]

[eqn: x _{2} =(b _{2} -(a _{23} *x _{3} ))/a _{22} =(6.5-(2.5*2.6522))/-6=0.02174]

[eqn: x _{1} =(b _{1} -(a _{13} *x _{3} +a _{12} *x _{2} ))/a _{11} =(-3-(7*2.6522+6*0.02174))/4=-5.4239]

이상.